辛普森悖论

先看一组对比试验（演示数字）：两款药治同一种病，按病人轻重分成两组，各治 100 人。

• 轻症组：甲药治了 10 人，治好 9 人，治愈率 90%；乙药治了 90 人，治好 72 人，治愈率 80%。甲赢。
• 重症组：甲药治了 90 人，治好 36 人，治愈率 40%；乙药治了 10 人，治好 3 人，治愈率 30%。甲又赢。

两组都是甲药赢，那合并起来总该是甲药好吧？算一下：甲药一共治好 9＋36＝45 人，总治愈率 45%；乙药一共治好 72＋3＝75 人，总治愈率 75%。合并之后，赢的竟然是乙药——分组结论整个翻了过来。这就是辛普森悖论。

分组都赢，怎么会合起来输

1. 关键在于各组的人数比例不一样。 甲药的病人里九成是重症，乙药的病人里九成是轻症。合并之后，比的就慢慢不是药效了，而是"谁的病人本来就难治"——甲药被自己的病人构成拖垮了。

2. 背后有个"第三者"在同时影响两边。 病情轻重既影响治愈率（重症天然难治），又影响分组比例（两款药接到的病人结构完全不同）。这种躲在背后同时推着两边变的因素，就是混杂因素——它才是拧反结论的元凶，数据本身一个数都没错。

3. 翻转是有条件的，不是汇总都会错。 只有当"分组变量影响结果"且"两边的分组人数比例不同"同时成立时，合并才可能翻车。如果两款药的病人里轻重比例完全相同，这种由比例差异造成的翻转就不会出现。所以不是"汇总数据都不能信"，而是"结构不同的两组不能直接合并比"。

看汇总数据，先问一句"分组结构一样吗"

这个悖论不只在试卷上。1973 年美国加州大学伯克利分校的研究生录取就出过一桩公案：总体一算，男生录取率明显高于女生，"歧视女生"的质疑四起；可分到各院系细看，多数院系的录取率并没有偏向男生，有些还偏向女生。谜底是：女生更多报考了竞争激烈、录取率本来就低的院系，男生更多报了录取容易的院系——报考结构不同，汇总数就把结论带反了。

所以下回再看到"总体怎样怎样"的汇总结论，先别急着站队，问一句：两边分组结构一样吗？拆开看看各组的比例，结论可能就换了一副面孔。